Родился 18 июня 1924 года в городе Рязань. До призыва в ряды Советской армии учился в 16 железнодорожной школе, был принят в члены ВЛКСМ.
В августе 1941 года был призван в 49 отдельный батальон связи, а затем в 138 отдельный ордена «Красной Звезды» Львовский полк связи в составе 3 гвардейской танковой армии в качестве механика телеграфа.
В составе полка принимал участие в боевых операциях на Западном, Воронежском, Центральном и I Украинском фронтах.
Во время войны Анатолий Алексеевич получил специальность механик-телеграфист.
Несмотря на арт. мин. обстрелы противника и бомбежки вражеской авиации, не прекращал работу, зная, что от этого зависит успех боя.
14 июля 1944 года арт. мин. огнем противника разбило телеграфный провод. Не дожидаясь устранения повреждения Анатолий под разрывами мин связал провод, дав возможность передать срочное донесение.
16 июля 1944 года в с. Нуще держали связь с командным пунктом, передавали важный приказ, но аппарат испортился. Требовалось ремонтировать только в специальной мастерской. Однако Анатолий Алексеевич, несмотря на бомбежку и арт. Обстрел противника, спокойно исправил передающий механизм. Благодаря этому были переданы все телеграммы с важными донесениями.
В сентябре 1944 после ранения попал в госпиталь в г. Тбилиси, где лечился до декабря этого же года, а затем вернулся домой в Рязань.
Был награжден орденом «Красная Звезда» и медалями «За боевые заслуги» и «За победу над Германией».
В январе 1945 года Носов А.А. стал надсмотрщиком телеграфа, а с мая 1946 года - начальником штаба Гражданской обороны Телеграфно-телефонной конторы связи. В августе 1948 года его перевели в Рязанское областное управление связи на должность начальника 1 отдела.
В январе 1951 года избран председателем обкома профсоюза, а в 1952 году направлен на учебу в Московскую высшую школу профсоюзных работников, после окончания которой вновь избран председателем.
С 1957 по 1962 годы работал секретарем объединенного обкома профсоюза связи и автотранспорта. Затем занимал должности начальника цеха и заместителя начальника областного управления связи в Рязанском городском узле связи.
После разукрупнения обкома в 1967 году избран председателем Рязанского обкома профсоюза связи, где проработал до октября 1984 года.
За активную работу в профсоюзе Носов А.А. награжден почетными грамотами ВЦСПС, ЦК профсоюза работников связи, областного совета профсоюзов, нагрудным знаком ВЦСПС, ему присвоено звание «Почетный радист».